İfadenin [tex]x[/tex] ve [tex]y[/tex] değişkenine bağlı kısmi türevini alırsanız, bu değeri minimum yapan [tex]x[/tex] ve [tex]y[/tex] değerlerini bulursunuz. Türevin geometrik yorumundan hatırlarsınız. Parabollerde türev aldığınızda tepe noktasının koordinatlarına ulaşırsınız. Bu ifade, ikinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem olduğu için bunu uygulayalım. Öncelikle [tex]x[/tex] değişkenine göre, akabinde [tex]y[/tex] değişkenine göre türev alıp [tex]0[/tex]'a eşitleyeceğiz.
[tex]f(x,y)=x^2+4y^2-8x+12y+6[/tex]
[tex]f'(x)=2x-8=0\\x=4[/tex]
[tex]f'(y)=8y+12=0\\y=-\frac{3}{2}[/tex]
Bu değerleri fonksiyonda koyarsanız,
[tex]f(4,-1.5)=-19[/tex] olarak fonksiyonun ekstremum noktasını (global minimum) bulursunuz.
Son olarak soruda bizden [tex]x^2+y^2[/tex] ifadesi sorulmuştu. Yerine koyarak sonuca ulaşalım.
[tex]4^2+(-\frac{3}{2})^2=16+\frac{9}{4}=\frac{73}{4}[/tex]