^^ Merhabalar Dostum İyi Akşamlar ^^
"Üssü İfadeler" Konu anlatımı
==> ÜSLÜ İFADE NEDİR?
a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere an ifadesine üslü ifade denir. an ifadesinde a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet adı verilir.
a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere an ifadesine üslü ifade denir. an ifadesinde a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet adı verilir.an = a.a.a…a (n tane)
ÖRNEK:
ÖRNEK:► 43 = 4 . 4 . 4 = 64
ÖRNEK:► 43 = 4 . 4 . 4 = 64► (−2)3 = (−2) . (−2) . (−2) = −8
ÖRNEK:► 43 = 4 . 4 . 4 = 64► (−2)3 = (−2) . (−2) . (−2) = −8► (15)2 = 15 . 15 = 125
==> ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ
x, y ∈ R ve m, n ∈ Z+ olmak üzere
1. Kuvvet
1. KuvvetTüm gerçek sayıların birinci kuvveti kendisidir.
1. KuvvetTüm gerçek sayıların birinci kuvveti kendisidir.x1 = x olur.
ÖRNEK:
ÖRNEK:► 71 = 7
ÖRNEK:► 71 = 7► 01 = 0
ÖRNEK:► 71 = 7► 01 = 0► (−5)1 = −5
ÖRNEK:► 71 = 7► 01 = 0► (−5)1 = −5► (12)1 = 12
0. Kuvvet
0. KuvvetSıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1’dir.
0. KuvvetSıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1’dir.x ≠ 0 için x0 = 1 olur.
0. KuvvetSıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1’dir.x ≠ 0 için x0 = 1 olur.ÖRNEK:
0. KuvvetSıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1’dir.x ≠ 0 için x0 = 1 olur.ÖRNEK:► 50 = 1
0. KuvvetSıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1’dir.x ≠ 0 için x0 = 1 olur.ÖRNEK:► 50 = 1► (−7)0 = 1
0. KuvvetSıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1’dir.x ≠ 0 için x0 = 1 olur.ÖRNEK:► 50 = 1► (−7)0 = 1► (57)0 = 1
Negatif Kuvvet
Negatif KuvvetNegatif kuvvette taban ters çevrilir.
Negatif KuvvetNegatif kuvvette taban ters çevrilir.x, y ≠ 0 için x−n = 1xn ve (xy)−n = (yx)n olur.
ÖRNEK:
ÖRNEK:► 5−2 = 152 = 125
► (−2)−6 = 1(−2)6 = 164
► (23)−3 = (32)3 = 278
Üslü Sayının Üssü
Üslü Sayının ÜssüÜslü sayıların üssü alınırken üsler çarpılır.
Üslü Sayının ÜssüÜslü sayıların üssü alınırken üsler çarpılır.(xm)n = xm.n
Üslü Sayının ÜssüÜslü sayıların üssü alınırken üsler çarpılır.(xm)n = xm.nÖRNEK:
Üslü Sayının ÜssüÜslü sayıların üssü alınırken üsler çarpılır.(xm)n = xm.nÖRNEK:► (24)3 = 24.3 = 212
Üslü Sayının ÜssüÜslü sayıların üssü alınırken üsler çarpılır.(xm)n = xm.nÖRNEK:► (24)3 = 24.3 = 212► ((−8)−3)−2 = (−8)(−3).(−2) = (−8)6
==> DİĞER BAZI ÖZELLİKLER
- Pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
- Pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.Negatif gerçek sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
- Pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.Negatif gerçek sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.1’in tüm gerçek sayı kuvvetleri 1’dir.
- Pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.Negatif gerçek sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.1’in tüm gerçek sayı kuvvetleri 1’dir.−1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.
- Pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.Negatif gerçek sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.1’in tüm gerçek sayı kuvvetleri 1’dir.−1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.0’ın negatif kuvvetleri tanımsızdır.
==> ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMİ
Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin Çarpımı
Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin ÇarpımıTabanları aynı olan iki üslü sayının çarpımında üsler toplanır.
Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin ÇarpımıTabanları aynı olan iki üslü sayının çarpımında üsler toplanır.xm . xn = xm+n
ÖRNEK:
ÖRNEK:► 52 . 57 = 52+7 = 59
ÖRNEK:► 52 . 57 = 52+7 = 59► (−4)−3 . (−4)5= (−4)−3+5 = (−4)2
Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerin Çarpımı
Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerin ÇarpımıÜsleri aynı olan üslü sayıların çarpımında tabanlar çarpılır.
Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerin ÇarpımıÜsleri aynı olan üslü sayıların çarpımında tabanlar çarpılır.xn . yn = (x.y)n
ÖRNEK:
ÖRNEK:► 59 . 29 = (5.2)9 = 109
ÖRNEK:► 59 . 29 = (5.2)9 = 109► (−2)5 . (−3)5 . 85= 485
Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin Bölümü
Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin BölümüTabanları aynı olan iki üslü sayının bölümünde bölünenin üssünden bölenin üssü çıkarılır.
Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin BölümüTabanları aynı olan iki üslü sayının bölümünde bölünenin üssünden bölenin üssü çıkarılır.x ≠ 0 için xm : xn = xm−n olur.
ÖRNEK:
ÖRNEK:► 612 : 617 = 612−17 = 6−5
ÖRNEK:► 612 : 617 = 612−17 = 6−5► 252−2 = 25−(−2) = 27
ÖRNEK:► 612 : 617 = 612−17 = 6−5► 252−2 = 25−(−2) = 27Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerin Bölümü
Üsleri aynı olan üslü sayıların bölümünde tabanlar bölünür.
Üsleri aynı olan üslü sayıların bölümünde tabanlar bölünür.y ≠ 0 için xn : yn = (xy)n olur.
Üsleri aynı olan üslü sayıların bölümünde tabanlar bölünür.y ≠ 0 için xn : yn = (xy)n olur.ÖRNEK:
Üsleri aynı olan üslü sayıların bölümünde tabanlar bölünür.y ≠ 0 için xn : yn = (xy)n olur.ÖRNEK:► 1545 : 345 = (153)45 = 545
Üsleri aynı olan üslü sayıların bölümünde tabanlar bölünür.y ≠ 0 için xn : yn = (xy)n olur.ÖRNEK:► 1545 : 345 = (153)45 = 545► 79149 = (714)9 = (12)9
==> ÜSLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ
Taban ve Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerle Toplama ve Çıkarma
Hem tabanları hem de üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi katsayılar arasında yapılır.
Hem tabanları hem de üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi katsayılar arasında yapılır.a . xn + b . xn − c . xn = (a+b−c) . xn
Hem tabanları hem de üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi katsayılar arasında yapılır.a . xn + b . xn − c . xn = (a+b−c) . xnÖRNEK:
Hem tabanları hem de üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi katsayılar arasında yapılır.a . xn + b . xn − c . xn = (a+b−c) . xnÖRNEK:► 5 . 27 + 8 . 27 = 27 . (5 + 8) = 13 . 27
Hem tabanları hem de üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi katsayılar arasında yapılır.a . xn + b . xn − c . xn = (a+b−c) . xnÖRNEK:► 5 . 27 + 8 . 27 = 27 . (5 + 8) = 13 . 27► 4 . 96 − 15 . 96 = 96 . ( 4 − 15) = −11 . 96
Tabanları Aynı ve Üsleri Farklı Olan Üslü İfadelerle Toplama ve Çıkarma
Tabanları Aynı ve Üsleri Farklı Olan Üslü İfadelerle Toplama ve ÇıkarmaTabanları aynı, üsleri farklı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken üsler eşitlenir ve daha sonra katsayılar arasında işlem yapılır.
Tabanları Aynı ve Üsleri Farklı Olan Üslü İfadelerle Toplama ve ÇıkarmaTabanları aynı, üsleri farklı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken üsler eşitlenir ve daha sonra katsayılar arasında işlem yapılır.ÖRNEK: 314 + 313 − 312 işleminin sonucunu bulalım.
Üsler, en düşük olan üsse göre eşitlenebilir. 314 = 32 . 312 ve 313 = 3 . 312 olduğu için bu sayılar yerine özdeşleri yazılır. Buna göre;
Üsler, en düşük olan üsse göre eşitlenebilir. 314 = 32 . 312 ve 313 = 3 . 312 olduğu için bu sayılar yerine özdeşleri yazılır. Buna göre;= 314 + 313 − 312
Üsler, en düşük olan üsse göre eşitlenebilir. 314 = 32 . 312 ve 313 = 3 . 312 olduğu için bu sayılar yerine özdeşleri yazılır. Buna göre;= 314 + 313 − 312= 32 . 312 + 3 . 312 − 312
Üsler, en düşük olan üsse göre eşitlenebilir. 314 = 32 . 312 ve 313 = 3 . 312 olduğu için bu sayılar yerine özdeşleri yazılır. Buna göre;= 314 + 313 − 312= 32 . 312 + 3 . 312 − 312= 9 . 312 + 3 . 312 − 1 . 312
Üsler, en düşük olan üsse göre eşitlenebilir. 314 = 32 . 312 ve 313 = 3 . 312 olduğu için bu sayılar yerine özdeşleri yazılır. Buna göre;= 314 + 313 − 312= 32 . 312 + 3 . 312 − 312= 9 . 312 + 3 . 312 − 1 . 312= (9+3−1) . 312 = 11 . 312 olarak sonuç bulunur.
==> ÜSLÜ DENKLEMLER
İçinde üslü ifade bulunduran denklemlere üslü denklem adı verilir.
İçinde üslü ifade bulunduran denklemlere üslü denklem adı verilir.Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar −1, 0 ya da 1’den farklı ve üsler de 0’dan farklı gerçek sayı olmak şartıyla; tabanlar eşitse üsler de eşittir.
İçinde üslü ifade bulunduran denklemlere üslü denklem adı verilir.Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar −1, 0 ya da 1’den farklı ve üsler de 0’dan farklı gerçek sayı olmak şartıyla; tabanlar eşitse üsler de eşittir.a ∈ R − {−1, 0, 1} ve x, y ∈ R − {0} olmak üzere ax = ay ise x = y dir.
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► 3x = 81
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► 3x = 813x = 34 olduğu için x = 4
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► 3x = 813x = 34 olduğu için x = 4► 2x+1 = 64
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► 3x = 813x = 34 olduğu için x = 4► 2x+1 = 642x+1 = 26 olduğu için x = 5
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► 3x = 813x = 34 olduğu için x = 4► 2x+1 = 642x+1 = 26 olduğu için x = 5► 5x−3 = 252x
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► 3x = 813x = 34 olduğu için x = 4► 2x+1 = 642x+1 = 26 olduğu için x = 5► 5x−3 = 252x5x−3 = (52)2x
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► 3x = 813x = 34 olduğu için x = 4► 2x+1 = 642x+1 = 26 olduğu için x = 5► 5x−3 = 252x5x−3 = (52)2x5x−3 = 54x
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► 3x = 813x = 34 olduğu için x = 4► 2x+1 = 642x+1 = 26 olduğu için x = 5► 5x−3 = 252x5x−3 = (52)2x5x−3 = 54xx−3 = 4x olduğu için x = −1
Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar −1, 0 ya da 1’den farklı gerçek sayı ve üsler de tam sayı olmak şartıyla; üsler eşit ve tek sayı ise tabanlar eşittir.
Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar −1, 0 ya da 1’den farklı gerçek sayı ve üsler de tam sayı olmak şartıyla; üsler eşit ve tek sayı ise tabanlar eşittir.a, b ∈ R − {−1, 0, 1}, n ∈ Z − {0} ve n tek sayı olmak üzere an = bn ise a = b dir..
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► x4 = 16
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► x4 = 16x4 = 24 olduğu için | x | = | 2 | olur.
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► x4 = 16x4 = 24 olduğu için | x | = | 2 | olur.| x | = 2 olduğu için de x = 2 ya da x = −2’dir.
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► x4 = 16x4 = 24 olduğu için | x | = | 2 | olur.| x | = 2 olduğu için de x = 2 ya da x = −2’dir.► (x+1)12 = 84
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► x4 = 16x4 = 24 olduğu için | x | = | 2 | olur.| x | = 2 olduğu için de x = 2 ya da x = −2’dir.► (x+1)12 = 84(x+1)12 = (23)4
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► x4 = 16x4 = 24 olduğu için | x | = | 2 | olur.| x | = 2 olduğu için de x = 2 ya da x = −2’dir.► (x+1)12 = 84(x+1)12 = (23)4(x+1)12 = 212
ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.► x4 = 16x4 = 24 olduğu için | x | = | 2 | olur.| x | = 2 olduğu için de x = 2 ya da x = −2’dir.► (x+1)12 = 84(x+1)12 = (23)4(x+1)12 = 212| x+1 | = | 2 | olduğu için x+1 = 2 ya da x+1 = −2’dir. Buradan da x = 1 ve x = −3 bulunur.
Bir üslü ifade 1’e eşit ise tabanı 1 olabilir, tabanı −1 ve üstü çift sayı olabilir ya da tabanı 0’dan farklı ve üssü 0 olabilir.
Bir üslü ifade 1’e eşit ise tabanı 1 olabilir, tabanı −1 ve üstü çift sayı olabilir ya da tabanı 0’dan farklı ve üssü 0 olabilir.xn = 1 eşitliği şu durumlarda sağlanır:
Bir üslü ifade 1’e eşit ise tabanı 1 olabilir, tabanı −1 ve üstü çift sayı olabilir ya da tabanı 0’dan farklı ve üssü 0 olabilir.xn = 1 eşitliği şu durumlarda sağlanır:► x ≠ 0 ve n = 0 tir.
Bir üslü ifade 1’e eşit ise tabanı 1 olabilir, tabanı −1 ve üstü çift sayı olabilir ya da tabanı 0’dan farklı ve üssü 0 olabilir.xn = 1 eşitliği şu durumlarda sağlanır:► x ≠ 0 ve n = 0 tir.► x = 1 tir.
Bir üslü ifade 1’e eşit ise tabanı 1 olabilir, tabanı −1 ve üstü çift sayı olabilir ya da tabanı 0’dan farklı ve üssü 0 olabilir.xn = 1 eşitliği şu durumlarda sağlanır:► x ≠ 0 ve n = 0 tir.► x = 1 tir.► x = −1 ve n çift sayıdır.
Bir üslü ifade 1’e eşit ise tabanı 1 olabilir, tabanı −1 ve üstü çift sayı olabilir ya da tabanı 0’dan farklı ve üssü 0 olabilir.xn = 1 eşitliği şu durumlarda sağlanır:► x ≠ 0 ve n = 0 tir.► x = 1 tir.► x = −1 ve n çift sayıdır.ÖRNEK: (x−3)x + 1 = 1 denklemini sağlayan x değerlerini bulalım.
► 1. DURUM: Üs sıfır olabilir, üssü sıfır yapan değerin tabanı sıfır yapmaması gerekir.
► 1. DURUM: Üs sıfır olabilir, üssü sıfır yapan değerin tabanı sıfır yapmaması gerekir.x + 1 = 0 eşitliğinden x = −1 bulunur. Bu değer tabanı sıfır yapmayacağı için denklemi sağlar.
► 1. DURUM: Üs sıfır olabilir, üssü sıfır yapan değerin tabanı sıfır yapmaması gerekir.x + 1 = 0 eşitliğinden x = −1 bulunur. Bu değer tabanı sıfır yapmayacağı için denklemi sağlar.► 2. DURUM: Taban 1 olabilir.
► 1. DURUM: Üs sıfır olabilir, üssü sıfır yapan değerin tabanı sıfır yapmaması gerekir.x + 1 = 0 eşitliğinden x = −1 bulunur. Bu değer tabanı sıfır yapmayacağı için denklemi sağlar.► 2. DURUM: Taban 1 olabilir.x−3 = 1 eşitliğinden x = 4 bulunur.
► 1. DURUM: Üs sıfır olabilir, üssü sıfır yapan değerin tabanı sıfır yapmaması gerekir.x + 1 = 0 eşitliğinden x = −1 bulunur. Bu değer tabanı sıfır yapmayacağı için denklemi sağlar.► 2. DURUM: Taban 1 olabilir.x−3 = 1 eşitliğinden x = 4 bulunur.► 3. DURUM: Taban −1 olabilir, tabanı −1 yapan değerin üssü çift sayı yapması gerekir.
► 1. DURUM: Üs sıfır olabilir, üssü sıfır yapan değerin tabanı sıfır yapmaması gerekir.x + 1 = 0 eşitliğinden x = −1 bulunur. Bu değer tabanı sıfır yapmayacağı için denklemi sağlar.► 2. DURUM: Taban 1 olabilir.x−3 = 1 eşitliğinden x = 4 bulunur.► 3. DURUM: Taban −1 olabilir, tabanı −1 yapan değerin üssü çift sayı yapması gerekir.x−3 = −1 eşitliğinden x = 2 bulunur. Bu değer üssü çift sayı yapmadığında denklemi sağlamaz.
► 1. DURUM: Üs sıfır olabilir, üssü sıfır yapan değerin tabanı sıfır yapmaması gerekir.x + 1 = 0 eşitliğinden x = −1 bulunur. Bu değer tabanı sıfır yapmayacağı için denklemi sağlar.► 2. DURUM: Taban 1 olabilir.x−3 = 1 eşitliğinden x = 4 bulunur.► 3. DURUM: Taban −1 olabilir, tabanı −1 yapan değerin üssü çift sayı yapması gerekir.x−3 = −1 eşitliğinden x = 2 bulunur. Bu değer üssü çift sayı yapmadığında denklemi sağlamaz.x’in alabileceği değerler −1 ve 4’tür.
( Kolay gelsin başarılar diliyorum)
