Cevap:
PERMÜTASYON
n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine n’nin r’li permütasyonu (dizilişi) denir.
ÖRNEK: A = {1, 2, 3} kümesinin ikili permütasyonlarını yazalım.
A kümesinin elemanlarını ikişerli seçerek sıralı ikili şeklinde yazarsak:
(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) ve (3, 2) elde ederiz.
3 elemanlı bir kümenin ikili permütasyonlarının sayısı 6’dır.
PERMÜTASYON SAYISI
n elemanlı bir kümenin r’li permütasyonlarının sayısı P (n, r) ile gösterilir.
P (n,r) = n!(n−r)! şeklinde hesaplanır.
ÖRNEK: 7’nin 3’lü permütasyonlarının sayısını yani P (7, 3) değerini bulalım.
P (7, 3) = 7!(7−3)! = 7!4! = 7.6.5.4!4! = 7.6.5 = 210
ÖRNEK: 5 arkadaş bir sıraya ikişerli oturup fotoğraf çektirecektir. Fotoğraf çekimi kaç farklı şekilde yapılabilir bulalım.
5 kişinin ikişerli dizilişlerinin (permütasyonlarının) sayısı P (5, 2) ile bulunur.
P (5, 2) = 5!(5−2)! = 5!3! = 1206 = 20
ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir.
5 elemandan 3’ünü seçip sıralayacağımız için sonuç P (5, 3) ile bulunur.
P (5, 3) = 5!(5−3)! = 5!2! = 1202 = 60
PERMÜTASYONUN ÖZELLİKLERİ
n’nin sıfırlı permütasyonlarının sayısı
P (n, 0) = n!(n−0)! = n!n! = 1
ÖRNEK: P (8, 0) = 1
n’nin birli permütasyonlarının sayısı
P (n, 1) = n!(n−1)! = n.(n−1)!(n−1)! = n
ÖRNEK: P (8, 1) = 8
n’nin n’li permütasyonlarının sayısı
P (n, n) = n!(n−n)! = n!0! = n!
ÖRNEK: P (8, 8) = 8!
TEKRARLI PERMÜTASYON
Bazı elemanları özdeş olan n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarına tekrarlı permütasyon denir.
ÖRNEK: ATA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kelimeleri yazalım.
ATA kelimesinde özdeş 2 tane A harfi olduğu için bu harfler ile sadece ATA, AAT ve TAA kelimeleri yazılabilir.
n elemanlı bir kümenin elemanlarının n1 tanesi birbiriyle özdeş, n2 tanesi birbiriyle özdeş, …, nr tanesi birbiriyle özdeş ise bu kümenin n’li permütasyonlarının sayısı n!n1!.n2!…..nr! ile bulunur.
ÖRNEK: HALİL kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelime sayısını bulalım.
HALİL kelimesinde:
H → 1 tane
A → 1 tane
L → 2 tane
İ → 1 tane bulunmaktadır.
Bu yüzden harflerin yer değiştirilmesi ile elde edilebilecek 5 harfli kelime sayısı:
5!1!.1!.2!.1! = 1202 = 60 olarak bulunur.
ÖRNEK: 3 322 111 sayısının rakamları yer değiştirilerek kaç tane 7 basamaklı sayı yazılabilir bulalım.
3 322 111 sayısında:
1 → 3 tane
2 → 2 tane
3 → 2 tane bulunmaktadır.
Bu yüzden rakamların yer değiştirilmesi ile elde edilebilecek 7 basamaklı sayı adedi:
7!3!.2!.2! = 7.6.5.4.3.23.2.2.2 = 210 olarak bulunur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR
ÖRNEK 1: TARİH kelimesinin harflerini en çok bir kez kullanarak yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kaç kelime vardır bulalım.
TARİH kelimesi 5 farklı harften oluşuyor ve bu harflerden 3’ü ile kelime yazacağız. Oluşturulabilecek kelime sayısı P (5, 3) ile bulunur.
P (5, 3) = 5!(5−3)! = 5!2! = 1202 = 60
ÖRNEK 2: DAKİKA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kelime sayısını bulalım.
DAKİKA kelimesinde:
D → 1 tane
A → 2 tane
K → 2 tane
İ → 1 tane bulunmaktadır.
6!1!.2!.2!.1! = 7204 = 180
ÖRNEK 3: HAFTA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelimelerin kaç tanesi F harfi ile başlar bulalım.
Oluşturacağımız kelimelerin F ile başlaması için F harfini başa sabitleriz. Diğer harflerin diziliş sayısını buluruz.
[F harfi sabit] – H,A,T,A harflerinin yeri değişecek
H,A,T,A harfleri arasında:
H → 1 tane
A → 2 tane
T → 1 tane bulunmaktadır.
4!1!.2!.1! = 242 = 12
ÖRNEK 4: SAAT kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kaç kelime vardır bulalım.
4 harften biri kullanılmayacağı için her bir harfin kullanılmadığı durumları ayrı ayrı inceleriz.
S harfi kullanılmazsa → A, A, T harfleriyle 3 tane,
T harfi kullanılmazsa → S, A, A harfleriyle 3 tane,
A harflerinden biri kullanılmazsa → S, A, T harfleriyle 6 tane kelime yazılır.
Toplam kelime sayısı 3 + 3 + 6 = 12 tanedir.
