Cevap:
BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI (BÖLENLERİ)
Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.
Çarpanları yazarken 1’den başlayarak son yazdığımız çarpanlara eşit olana kadar sırayla gitmek işlemlerinizi kolaylaştırır. Ayrıca bölünebilme kuralları konusunu tekrar ederseniz bu konuda ve sonraki konularda faydasını görürsünüz.
ÖRNEK: 24 sayısının pozitif çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.
24’ü iki sayının çarpımı şeklinde yazalım. Aşağıdaki gibi sonuçlar elde ederiz.
24 = 1 x 24
24 = 2 x 12
24 = 3 x 8
24 = 4 x 6
24 = 6 x 4 Bir üstte aynısını yazmıştık, bu yüzden işlemimiz bitti.
Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24’ün çarpanlarıdır. Bu çarpanlar aynı zamanda 24’ün kalansız bölenleridir.
24’ün Pozitif Çarpanları / Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
ÖRNEK: 60 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım.
60’ı iki sayının çarpımı şeklinde yazarsak aşağıdaki sonuçları elde ederiz.
60 = 1 x 60
60 = 2 x 30
60 = 3 x 20
60 = 4 x 15
60 = 5 x 12
60 = 6 x 10
60’ın Pozitif Çarpanları (Bölenleri) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır.
ASAL SAYILAR
Pozitif çarpanları (bölenleri) sadece 1 ve kendisi olan 1’den büyük sayılara asal sayılar denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, … sayıları birer asal sayıdır.ÖRNEK: 91 asal sayı mıdır? 91’in çarpanlarını bulalım.
91 = 1 x 91
91 = 7 x 13
Görüldüğü gibi 91 sayısının çarpanları arasında 1 ve kendisinden başka sayılar da vardır. Bu yüzden 91 sayısı asal sayı değildir.
# 1 asal sayı değildir, en küçük asal sayı 2’dir
# 2’den başka çift asal sayı yoktur. (Çünkü hepsi 2’ye de bölünür.)ASAL ÇARPANLAR
Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir.
ÖRNEK: 75 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
75 sayısının tüm çarpanlarını yukarıda öğrendiğimiz yöntemle 1, 3, 5, 15, 25, 75 olarak buluruz.
Bu çarpanlar arasında asal sayı olanlar 3 ve 5 olduğu için 75’in asal çarpanları 3 ve 5’tir.
# Sayıların asal çarpanlarını bulmayı ve bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmayı aşağıdaki iki yöntemle yapabiliriz.1) ÇARPAN AĞACI
Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim.
Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır
Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.
ÖRNEK: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.
36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36’dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 ‘dir.
ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.
60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır.2) BÖLEN LİSTESİ (Asal Çarpanlar Algoritması)
Bölen listesi yani diğer adıyla asal çarpanlar algoritması nedir, nasıl yapılır görelim.
Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1’i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.
Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.ÖRNEK: 36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım.
36 sayısını 2’den başlayarak asal sayılara sırayla bölüyoruz.
1’i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında kalan sayılar 36’nın asal çarpanlarıdır.
36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3’tür.
Çizginin sağ tarafındaki sayıları çarparak 36 sayısını elde edebiliriz.
36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 ‘dir.EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı, kısaca EKOK‘u denir.
a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) veya (a,b)ekok şeklinde gösterilir.
Şimdi EKOK nedir daha iyi anlayabilmek için bir örnek verelim.
ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını adım adım bulalım.
► Öncelikle 6 ve 8 sayılarının katlarını yazalım:
6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
8’in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …
► Şimdi bu katlardan ortak olanlarını işaretleyelim.
6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
8’in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …
► Bu ortak katlardan en küçüğü EKOK’tur.
Ortak katlar: 24, 48, ….
EKOK (6,8) = 24 veya (6,8)ekok = 24 şeklinde gösteririz.
► EKOK‘un adı üstünde: En Küçük Ortak Kat
Yani sayıların katlarını bulacağız, ortak olanlarını bulacağız, bunlardan en küçük olanı ekok’tur.
Şimdi EKOK kısa yoldan nasıl hesaplanır öğrenelim.
EKOK NASIL BULUNUR?
EKOK BULMA: İki sayı yan yana yazılarak bölen listesi yapılır. En küçük asal sayıdan başlayarak devam edilir. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir.
Aşağıdaki örneği incelersek 15 ve 20’yi önce en küçük asal sayı olan 2’ye böleriz. 15 bölünmez ancak 20 bölünür. Daha sonra tekrar 2’ye böleriz. 15 bölünmese de 10 bölünür. Daha sonra işleme bu şekilde devam ederiz. İki sayı da 1 olunca işlemimiz biter. Çizginin sağında yazan sayıların çarpımı bu iki sayının en küçük ortak katı yani ekokudur.
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni, kısaca EBOB‘u denir.
a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) veya (a,b)ebob şeklinde gösterilir.
Şimdi EBOB nedir daha iyi anlayabilmek için bir örnek verelim.
ÖRNEK: 18 ve 24 sayılarının en büyük ortak bölenini adım adım bulalım.► Öncelikle 18 ve 24 sayılarının bölenlerini yazalım:
18’in bölenleri : 1, 2, 3, 6, 9, 18
24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24► Şimdi bu bölenlerden ortak olanlarını işaretleyelim.
18’in bölenleri : 1, 2, 3, 6, 9, 18
24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
► Bu ortak bölenlerin en büyüğü EBOB’tur.
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6
EBOB (18,24) = 6 veya (18,24)ebob = 6 şeklinde gösteririz.
► EBOB‘un adı üstünde: En Büyük Ortak Bölen
Yani sayıların bölenlerini bulacağız, ortak olanlarını bulacağız, bunlardan en büyük olanı ebob’tur.
EBOB kısa yoldan nasıl hesaplanır birazdan öğreneceğiz.
EBOB NASIL BULUNUR?
EBOB BULMA: İki sayıyı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayıdan başlayarak devam ederiz. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Ancak burada önemli olan her iki sayıyı da bölen sayıları işaretlememiz gerektiğidir.
Aşağıdaki örneği incelersek 24 ve 32’yi önce en küçük asal sayı olan 2’ye böleriz. İkisini de böldüğü için 2’yi işaretleriz. Sonra benzer şekilde devam ederiz. Her iki sayı da 1 olunca işlemimiz biter ve işaretli sayıların çarpımı bu sayıların en büyük ortak böleni yani ebobudurEBOB-EKOK İLE İLGİLİ NOTLAR
İki sayının çarpımı, EBOB’ları ile EKOK’larının çarpımına eşittir.
ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarını inceleyelim:
EBOB (6,8) = 2
EKOK (6,8) = 24
Bu iki sayının çarpımı : 6 . 8 = 48
EBOB (6,8) . EKOK (6,8) : 2 . 24 = 48
Biri diğerinin katı olan sayıların EBOB’ları küçük sayıya, EKOK’ları büyük sayıya eşittir.
ÖRNEK: 6 ve 12 sayılarını inceleyelim:
EBOB (6,12) = 6
EKOK (6,12) = 12
EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük olamaz.
EKOK ≥ SAYILAR ≥ EBOB
EBOB – EKOK PROBLEMLERİ
EBOB ve EKOK özellikle problemlerde çok karıştırılır. Hangi soruda EBOB, hangi soruda EKOK bulacağımızı karıştırmamalıyız. Peki nasıl ayırt edebiliriz? Bir soru ebob sorusu mu ekok sorusu mu nasıl anlarız?
Cevabı çok basit: Düşünerek
Soruda size verilenler ile istenilen şeye nasıl ulaşabileceğinizi biraz düşünürseniz ebob-ekok problemlerini ayırt etmeniz çok kolay olur. Eğer istenilen şeye verilen sayıların katlarından ulaşacak isek ekok, verilen sayıların bölenlerinden ulaşacak isek ebob kullanılır.
EBOB Problemleri
İki veya daha fazla çokluğun ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Doğal olarak sorularda bütünü parçalamamızı istiyorsa ebob kullanma ihtimalimiz yüksek.
EBOB SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:
Bidonlarda, varillerde, şişelerde, çuvallarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,
Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,
İnsanlardan oluşan gruplar için kaç uçak, otobüs, araba veya oda gerekir diye soruluyorsa,
Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, kutunun, deponun içine kaç küp sığar diye soruluyorsa,
Kumaşlar, bezler, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,
Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa ebob kullanılır.
ÖRNEK: 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?
EBOB (80, 120) = 2.2.2.5 = 40 cm
EKOK Problemleri
İki veya daha fazla çokluğu ortak katlarının en küçüğüdür. Doğal olarak sorularda parçalardan bütüne gitmemiz istiyorsa ekok kullanma ihtimalimiz yüksek.
EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:
Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler üçer-beşer-vb sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa,
Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa,
Sınıfta öğrenciler ikişer-üçer-vb sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa,
Ziller, saatler birlikte ne zaman bir daha çalar diye soruluyorsa,
Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa ekok kullanılır.
ÖRNEK: Tarık bilyelerini dörder, beşer ve altışar saydığında her defasında 1 bilyesi artıyor. Buna göre, Tarık’ın en az kaç tane bilyesi vardır?
EKOK(4,5,6) = 2.2.3.5 = 60
60 + 1 = 61 bilyeARALARINDA ASAL SAYILAR
İki ya da daha fazla doğal sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.
ÖRNEK: 16 ve 35 sayılarının ortak bölenlerini adım adım bulalım.
# Öncelikle 16 ve 35 sayılarının bölenlerini yazalım:
16’nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16
35’in bölenleri: 1, 5, 7, 35
# Şimdi bu bölenlerden ortak olanlarını işaretleyelim.
16’nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16
35’in bölenleri: 1, 5, 7, 35
# Görüldüğü gibi bu iki sayının ortak bölenleri sadece 1’dir. Bu yüzden bu iki sayıya aralarında asal sayılar denir.
ÖRNEK: 18 ve 21 sayılarının aralarında asal olup olmadığını bulalım.
# 18 ve 21 sayılarının bölenlerini yazalım ve ortak olanlarını işaretleyelim.
18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
21’in bölenleri: 1, 3, 7, 21
# Görüldüğü gibi bu iki sayının ortak bölenleri 1 ve 3’tür. 1’den başka ortak bölenleri bulunduğu için bu iki sayı aralarında asal sayı değildir.
ARALARINDA ASAL SAYILAR İLE İLGİLİ NOTLAR
Aralarında asal sayıların ebob’ları 1’dir.
ÖRNEK: 16 ve 35 sayıları aralarında asal sayılardır.
Bu yüzden EBOB’ları 1 çıkacaktır. EBOB(16,35) = 1
Aralarında asal iki sayının ekok’ları sayıların çarpımına eşittir.
ÖRNEK: 5 ve 6 sayıları aralarında asal sayılardır.
Bu yüzden EKOK’ları bu iki sayının çarpımına eşit çıkacaktır. EKOK(5,6) = 30Ardışık iki sayılar ve ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır.
ÖRNEK: 23 ve 24 sayıları ardışık sayılardır. 35 ve 37 sayıları ardışık tek sayılardır.
Bu yüzden 23-24’ün ve 35-37’nin aralarında asal olduklarını işlem yapmadan bilebiliriz.
Çift sayılar aralarında asal olamaz.
ÖRNEK: 28 ve 46 sayıları aralarında asal değillerdir.
Çünkü çift sayıların hepsi 2’ye tam bölündüğü için ortak bölenleri sadece 1 değildir. Bu yüzden aralarında asal değillerdir.
Farklı asal sayılar her zaman aralarında asaldır.
ÖRNEK: 5 ve 23 ikisi de asal sayı olduğu için aralarında asaldır.
5’in pozitif bölenleri: 1 ve 5
23’ün pozitif bölenleri: 1 ve 23
Asal sayıların pozitif bölenleri sadece 1 ve kendileri olduğu için farklı asal sayıların ortak bölenleri sadece 1 olur. Bu yüzden aralarında asal olurlar.
Aralarında asal sayıların asal sayı olması gerekmez.
ÖRNEK: 9 ve 64 aralarında asaldır ancak ikisi de asal sayı değildir.
Aralarında asal sayı kavramı ile asal sayı kavramını karıştırmamak gerekir.
