Cevap: A şıkkıdır.
Adım adım açıklama:
Bize P(x) + P(x - 1) = 2x² olduğu verilmiş.
Böyle bir durumda x yerine küçük değerler yazarak cevaba ulaşmaya çalışacağız.
x yerine 1 yazarsak, P(1) + P(0) = 2 olur.
Şıklardaki gördüğümüz polinomlara x yerine bir kez 1, bir kez de 0 yazıp elde ettiğimiz değerleri topladığımızda, toplamımızın 2 olması gerekir.
A) x² + x , için
x = 1 iken, 1 + 1 = 2
x = 0 iken, 0 + 0 = 0
Toplamları: 2 + 0 = 2’yi sağladı. Cevabımız A şıkkı olabilir.
B) x²-x-2
x = 1 iken, 1 - 1 - 2 = -2
x = 0 iken, 0 - 0 - 2 = -2
Toplamları: -2 + -2 = -4
Normalde topladığımızda 2 elde etmemiz gerekiyordu, istediğimiz cevabı vermedi o yüzden cevabımız B şıkkı olamaz.
C) x² + x - 2
x = 1 iken, 1 + 1 - 2 = 0
x = 0 iken, 0 + 0 - 2 = -2
Toplamları: 0 + -2 = -2
Normalde topladığımızda 2 elde etmemiz gerekiyordu, istediğimiz cevabı vermedi o yüzden cevabımız C şıkkı olamaz.
D) x - x + 1
x = 1 iken, 1 - 1 + 1 = 1
x = 0 iken, 0 - 0 + 1 = 1
Toplamları: 1 + 1 = 2’yi sağladı. Cevabımız D şıkkı olabilir.
E)x² + x - 1
x = 1 iken, 1 + 1 - 1 = 1
x = 0 iken, 0 + 0 - 1 = -1
Toplamları: 1 + -1 = 0
Normalde topladığımızda 2 elde etmemiz gerekiyordu, istediğimiz cevabı vermedi o yüzden cevabımız E şıkkı olamaz.
Fark ettiysen değerleri denedikten sonra “olabilir” şeklinde konuştum çünkü şans eseri başka bir polinom da 1 ve 0 yazıp topladığımızda aynı değerleri veriyor olabilir.
Şimdi iki şık arasında kaldık, cevabımız ya A seçeneği ya da D seçeneği olacak. Bu ikilemden de x yerine başka bir şey yazarak kurtulacağız. Geçen sefer denklemimizde x yerine 1 yazmıştık şimdi ise 2 yazalım.
Denklemimiz: P(x) + P(x - 1) = 2x²
x = 2, P(2) + P(1) = 8
A) x² + x
x = 2, P(2) = 4 + 2 = 6
x = 1, P(1) = 1 + 1 = 2
P(2) + P(1) = 8
İstediğimiz değeri verdi.
D) x - x + 1
x = 2, P(2) = 2 - 2 + 1 = 1
x = 1, P(1) = 1 - 1 + 1 = 1
P(2) + P(1) = 2
İstediğimiz değeri vermedi.
Demek ki aradığımız polinom, A şıkkındaki polinommuş.