Soru: P(x) + P(x - 1) = 2x² olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x² + xB) x²-x-2 C) x² + x - 2 D) x - x + 1 E)x² + x - 1​

Cevap: A şıkkıdır.

Adım adım açıklama:

Bize P(x) + P(x - 1) = 2x² olduğu verilmiş.

Böyle bir durumda x yerine küçük değerler yazarak cevaba ulaşmaya çalışacağız.

x yerine 1 yazarsak, P(1) + P(0) = 2 olur.

Şıklardaki gördüğümüz polinomlara x yerine bir kez 1, bir kez de 0 yazıp elde ettiğimiz değerleri topladığımızda, toplamımızın 2 olması gerekir.

A) x² + x , için

x = 1 iken, 1 + 1 = 2

x = 0 iken, 0 + 0 = 0

Toplamları: 2 + 0 = 2’yi sağladı. Cevabımız A şıkkı olabilir.

B) x²-x-2

x = 1 iken, 1 - 1 - 2 = -2

x = 0 iken, 0 - 0 - 2 = -2

Toplamları: -2 + -2 = -4

Normalde topladığımızda 2 elde etmemiz gerekiyordu, istediğimiz cevabı vermedi o yüzden cevabımız B şıkkı olamaz.

C) x² + x - 2 

x = 1 iken, 1 + 1 - 2 = 0

x = 0 iken, 0 + 0 - 2 = -2

Toplamları: 0 + -2 = -2

Normalde topladığımızda 2 elde etmemiz gerekiyordu, istediğimiz cevabı vermedi o yüzden cevabımız C şıkkı olamaz.

D) x - x + 1

x = 1 iken, 1 - 1 + 1 = 1

x = 0 iken, 0 - 0 + 1 = 1

Toplamları: 1 + 1 = 2’yi sağladı. Cevabımız D şıkkı olabilir.

E)x² + x - 1​

x = 1 iken, 1 + 1 - 1 = 1

x = 0 iken, 0 + 0 - 1 = -1

Toplamları: 1 + -1 = 0

Normalde topladığımızda 2 elde etmemiz gerekiyordu, istediğimiz cevabı vermedi o yüzden cevabımız E şıkkı olamaz.

Fark ettiysen değerleri denedikten sonra “olabilir” şeklinde konuştum çünkü şans eseri başka bir polinom da 1 ve 0 yazıp topladığımızda aynı değerleri veriyor olabilir.

Şimdi iki şık arasında kaldık, cevabımız ya A seçeneği ya da D seçeneği olacak. Bu ikilemden de x yerine başka bir şey yazarak kurtulacağız. Geçen sefer denklemimizde x yerine 1 yazmıştık şimdi ise 2 yazalım.

Denklemimiz: P(x) + P(x - 1) = 2x²

x = 2, P(2) + P(1) = 8

A) x² + x

x = 2, P(2) = 4 + 2 = 6

x = 1, P(1) = 1 + 1 = 2

P(2) + P(1) = 8

İstediğimiz değeri verdi.

D) x - x + 1 

x = 2, P(2) = 2 - 2 + 1 = 1

x = 1, P(1) = 1 - 1 + 1 = 1

P(2) + P(1) = 2

İstediğimiz değeri vermedi.

Demek ki aradığımız polinom, A şıkkındaki polinommuş.