Soru: Vektör konusunda Sabit hız ve hızlanan hız arasında ne fark var?

Adım adım açıklama:

9 ile 15'in 3 basamaklı en küçük katını almamız gerekiyor.

9'un katları: 9,18..... 90,99,108,117,126,135,144.... diye gider

15'in katları: 15,30,45.....90,105,120,135,150... diye gider

3 basamaklı en küçük ortak katları 135'dir

cevap 135

Adım adım açıklama:

1) 10³

2) 8² ya da 2⁶

3) 3³

4) 3²

Cevap:

1) 100 USUU 2

2) 8 ussu 2

3) 3 ussu 3

4) 3ussu 2

Adım adım açıklama:

1-BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI (BÖLENLERİ)

denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.

Çarpanları yazarken 1’den başlayarak son yazdığımız çarpanlara eşit olana kadar sırayla gitmek işlemlerinizi kolaylaştırır. Ayrıca bölünebilme kuralları konusunu tekrar ederseniz bu konuda ve sonraki konularda faydasını görürsünüz.

ÖRNEK: 24 sayısının pozitif çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.

24’ü iki sayının çarpımı şeklinde yazalım. Aşağıdaki gibi sonuçlar elde ederiz.

24 = 1 x 24

24 = 2 x 12

24 = 3 x 8

24 = 4 x 6

24 = 6 x 4 Bir üstte aynısını yazmıştık, bu yüzden işlemimiz bitti.

Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24’ün çarpanlarıdır. Bu çarpanlar aynı zamanda 24’ün kalansız bölenleridir.

24’ün Pozitif Çarpanları / Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

ÖRNEK: 60 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım.

60’ı iki sayının çarpımı şeklinde yazarsak aşağıdaki sonuçları elde ederiz.

60 = 1 x 60

60 = 2 x 30

60 = 3 x 20

60 = 4 x 15

60 = 5 x 12

60 = 6 x 10

60’ın Pozitif Çarpanları (Bölenleri) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır.

Pozitif çarpanları (bölenleri) sadece 1 ve kendisi olan 1’den büyük sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, … sayıları birer asal sayıdır. ÖRNEK: 91 asal sayı mıdır? 91’in çarpanlarını bulalım.

91 = 1 x 91

91 = 7 x 13

Görüldüğü gibi 91 sayısının çarpanları arasında 1 ve kendisinden başka sayılar da vardır. Bu yüzden 91 sayısı asal sayı değildir.

# 1 asal sayı değildir, en küçük asal sayı 2’dir

# 2’den başka çift asal sayı yoktur. (Çünkü hepsi 2’ye de bölünür.)

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir.

ÖRNEK: 75 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

75 sayısının tüm çarpanlarını yukarıda öğrendiğimiz yöntemle 1, 3, 5, 15, 25, 75 olarak buluruz.

Bu çarpanlar arasında asal sayı olanlar 3 ve 5 olduğu için 75’in asal çarpanları 3 ve 5’tir.

# Sayıların asal çarpanlarını bulmayı ve bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmayı aşağıdaki iki yöntemle yapabiliriz.

Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim.

Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır

Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36’dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.Çarpan Ağacı

36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 ‘dir.

ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır.60 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 60 = 22 . 3 . 5 ‘tir.

Bölen listesi yani diğer adıyla asal çarpanlar algoritması nedir, nasıl yapılır görelim.

Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1’i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

Bölen Listesi

ÖRNEK: 36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım.

36 sayısını 2’den başlayarak asal sayılara sırayla bölüyoruz.

1’i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında kalan sayılar 36’nın asal çarpanlarıdır.

36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3’tür.

Çizginin sağ tarafındaki sayıları çarparak 36 sayısını elde edebiliriz.

36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 ‘dir.

Öncelikle Merhabalar :)

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ Pozitif Tam Sayıların Pozitif Çarpanlarını Bulma

√ Pozitif Tam Sayıların Asal Çarpanlarını Bulma

√ Pozitif Tam Sayıları Üslü İfade veya Üslü İfadelerin Çarpımı Şeklinde Yazma

Bir doğal sayının çarpanlarını bulmayı 6. sınıfta çarpanlar ve katlar konusunda öğrenmiştik. Asal sayılar ve bir doğal sayının asal çarpanlarını bulmayı da yine 6. sınıfta asal sayılar ve asal çarpanlar konusunda öğrenmiştik. 8. sınıf çarpanlar ve katlar konusunun ilk kazanımı olan bu konuda ise bunları hatırlayıp, pozitif tam sayıları üslü ifade veya üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmayı öğreneceğiz.

BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI (BÖLENLERİ)

Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için bir doğal sayının çarpanları aynı zamanda bölenleridir.

Çarpanları yazarken 1’den başlayarak son yazdığımız çarpanlara eşit olana kadar sırayla gitmek işlemlerinizi kolaylaştırır. Ayrıca bölünebilme kuralları konusunu tekrar ederseniz bu konuda ve sonraki konularda faydasını görürsünüz.

ÖRNEK: 24 sayısının pozitif çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.

24’ü iki sayının çarpımı şeklinde yazalım. Aşağıdaki gibi sonuçlar elde ederiz.

24 = 1 x 24

24 = 2 x 12

24 = 3 x 8

24 = 4 x 6

24 = 6 x 4 Bir üstte aynısını yazmıştık, bu yüzden işlemimiz bitti.

Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24’ün çarpanlarıdır. Bu çarpanlar aynı zamanda 24’ün kalansız bölenleridir.

24’ün Pozitif Çarpanları / Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

ÖRNEK: 60 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım.

60’ı iki sayının çarpımı şeklinde yazarsak aşağıdaki sonuçları elde ederiz.

60 = 1 x 60

60 = 2 x 30

60 = 3 x 20

60 = 4 x 15

60 = 5 x 12

60 = 6 x 10

60’ın Pozitif Çarpanları (Bölenleri) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır.

ASAL SAYILAR

Pozitif çarpanları (bölenleri) sadece 1 ve kendisi olan 1’den büyük sayılara asal sayılar denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, … sayıları birer asal sayıdır.

ÖRNEK: 91 asal sayı mıdır? 91’in çarpanlarını bulalım.

91 = 1 x 91

91 = 7 x 13

Görüldüğü gibi 91 sayısının çarpanları arasında 1 ve kendisinden başka sayılar da vardır. Bu yüzden 91 sayısı asal sayı değildir.

# 1 asal sayı değildir, en küçük asal sayı 2’dir

# 2’den başka çift asal sayı yoktur. (Çünkü hepsi 2’ye de bölünür.)

ASAL ÇARPANLAR

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir.

ÖRNEK: 75 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

75 sayısının tüm çarpanlarını yukarıda öğrendiğimiz yöntemle 1, 3, 5, 15, 25, 75 olarak buluruz.

Bu çarpanlar arasında asal sayı olanlar 3 ve 5 olduğu için 75’in asal çarpanları 3 ve 5’tir.

# Sayıların asal çarpanlarını bulmayı ve bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmayı aşağıdaki iki yöntemle yapabiliriz.

1) ÇARPAN AĞACI

Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim.

Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır

Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36’dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.

36 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3’tür. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 ‘dir.

ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.

60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır.

60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5’tir. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

60 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 60 = 22 . 3 . 5 ‘tir.

SORU: Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.

ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini birlikte yapalım, kalan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun.

Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir. Alttan başlayarak

A = 2.2 = 4

B = 2.4 = 8

C = 5.8 = 40 bulunur.

2) BÖLEN LİSTESİ (Asal Çarpanlar Algoritması)

Bölen listesi yani diğer adıyla asal çarpanlar algoritması nedir, nasıl yapılır görelim.

Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1’i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK: 36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım.

36 sayısını 2’den başlayarak asal sayılara sırayla bölüyoruz.

1’i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında kalan sayılar 36’nın asal çarpanlarıdır.

36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3’tür.

Çizginin sağ tarafındaki sayıları çarparak 36 sayısını elde edebiliriz.

36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 ‘dir.

SORU: Aşağıdaki bölen listelerinde verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.

ÇÖZÜM: Birinci bölen listesi örneğini birlikte yapalım, kalan bölen listesi örnekleri sizin olsun.

Bölen listesinde soldaki sayıyı sağındaki sayıya böleriz, çıkan sonucu altına yazarız. Alttan başlayarak

A : 3 = 5 olacağı için A = 15

B : 2 = 15 olacağı için B = 30

C : 2 = 30 olacağı için C = 60 bulunur.

 BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ En Büyük Ortak Bölen

√ En Küçük Ortak Kat

√ Ebob – Ekok (Obeb-Okek)

6. sınıfta bir doğal sayının bölenleri ve katları nasıl bulunur ve ortak bölenler ve katlar konularını öğrenmiştik. Şimdi ise iki veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmayı, en büyük ortak bölenini bulmayı, kısaca ebob ekok nasıl bulunur öğreneceğiz.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı, kısaca EKOK‘u denir. 

a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) veya (a,b)ekok şeklinde gösterilir.

Şimdi EKOK nedir daha iyi anlayabilmek için bir örnek verelim.

ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını adım adım bulalım.

►  Öncelikle 6 ve 8 sayılarının katlarını yazalım:

6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …

8’in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …

►  Şimdi bu katlardan ortak olanlarını işaretleyelim.

6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …

8’in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, …

►  Bu ortak katlardan en küçüğü EKOK’tur.

Ortak katlar: 24, 48, ….

EKOK (6,8) = 24 veya (6,8)ekok = 24 şeklinde gösteririz.

► EKOK‘un adı üstünde: En Küçük Ortak Kat 

Yani sayıların katlarını bulacağız, ortak olanlarını bulacağız, bunlardan en küçük olanı ekok’tur.

Şimdi EKOK kısa yoldan nasıl hesaplanır öğrenelim.

EKOK NASIL BULUNUR?

EKOK BULMA: İki sayı yan yana yazılarak bölen listesi yapılır. En küçük asal sayıdan başlayarak devam edilir. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir.

Aşağıdaki örneği incelersek 15 ve 20’yi önce en küçük asal sayı olan 2’ye böleriz. 15 bölünmez ancak 20 bölünür. Daha sonra tekrar 2’ye böleriz. 15 bölünmese de 10 bölünür. Daha sonra işleme bu şekilde devam ederiz. İki sayı da 1 olunca işlemimiz biter. Çizginin sağında yazan sayıların çarpımı bu iki sayının en küçük ortak katı yani ekokudur.

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni, kısaca EBOB‘u denir.

a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) veya (a,b)ebob şeklinde gösterilir.

Şimdi EBOB nedir daha iyi anlayabilmek için bir örnek verelim.

ÖRNEK: 18 ve 24 sayılarının en büyük ortak bölenini adım adım bulalım.

► Öncelikle 18 ve 24 sayılarının bölenlerini yazalım:

18’in bölenleri : 1, 2, 3, 6, 9, 18

24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

► Şimdi bu bölenlerden ortak olanlarını işaretleyelim.

18’in bölenleri : 1, 2, 3, 6, 9, 18

24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

► Bu ortak bölenlerin en büyüğü EBOB’tur.

Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6

EBOB (18,24) = 6 veya (18,24)ebob = 6 şeklinde gösteririz.

► EBOB‘un adı üstünde: En Büyük Ortak Bölen 

Yani sayıların bölenlerini bulacağız, ortak olanlarını bulacağız, bunlardan en büyük olanı ebob’tur.

EBOB kısa yoldan nasıl hesaplanır birazdan öğreneceğiz.

EBOB NASIL BULUNUR?

EBOB BULMA: İki sayıyı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayıdan başlayarak devam ederiz. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Ancak burada önemli olan her iki sayıyı da bölen sayıları işaretlememiz gerektiğidir.

Aşağıdaki örneği incelersek 24 ve 32’yi önce en küçük asal sayı olan 2’ye böleriz. İkisini de böldüğü için 2’yi işaretleriz. Sonra benzer şekilde devam ederiz. Her iki sayı da 1 olunca işlemimiz biter ve işaretli sayıların çarpımı bu sayıların en büyük ortak böleni yani ebobudur.

İki sayının çarpımı, EBOB’ları ile EKOK’larının çarpımına eşittir.

ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarını inceleyelim:

EBOB (6,8) = 2

EKOK (6,8) = 24

Bu iki sayının çarpımı : 6 . 8 = 48

EBOB (6,8) . EKOK (6,8) : 2 . 24 = 48

Biri diğerinin katı olan sayıların EBOB’ları küçük sayıya, EKOK’ları büyük sayıya eşittir.

ÖRNEK: 6 ve 12 sayılarını inceleyelim:

EBOB (6,12) = 6

EKOK (6,12) = 12

EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük olamaz.

EKOK ≥ SAYILAR ≥ EBOB

EBOB – EKOK PROBLEMLERİ

EBOB ve EKOK özellikle problemlerde çok karıştırılır. Hangi soruda EBOB, hangi soruda EKOK bulacağımızı karıştırmamalıyız. Peki nasıl ayırt edebiliriz? Bir soru ebob sorusu mu ekok sorusu mu nasıl anlarız?

Cevabı çok basit: Düşünerek

Soruda size verilenler ile istenilen şeye nasıl ulaşabileceğinizi biraz düşünürseniz ebob-ekok problemlerini ayırt etmeniz çok kolay olur. Eğer istenilen şeye verilen sayıların katlarından ulaşacak isek ekok, verilen sayıların bölenlerinden ulaşacak isek ebob kullanılır.

EBOB Problemleri

İki veya daha fazla çokluğun ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Doğal olarak sorularda bütünü parçalamamızı istiyorsa ebob kullanma ihtimalimiz yüksek.

EBOB SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

Bidonlarda, varillerde, şişelerde, çuvallarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,

Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,

İnsanlardan oluşan gruplar için kaç uçak, otobüs, araba veya oda gerekir diye soruluyorsa,

Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, kutunun, deponun içine kaç küp sığar diye soruluyorsa,

Kumaşlar, bezler, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,

Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa ebob kullanılır.

ÖRNEK: 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?

EBOB (80, 120) = 2.2.2.5 = 40 cm

EKOK Problemleri

İki veya daha fazla çokluğu ortak katlarının en küçüğüdür.  Doğal olarak sorularda parçalardan bütüne gitmemiz istiyorsa ekok kullanma ihtimalimiz yüksek.

EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler üçer-beşer-vb sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa,

Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa,

Sınıfta öğrenciler ikişer-üçer-vb sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa,

Ziller, saatler birlikte ne zaman bir daha çalar diye soruluyorsa,

Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa ekok kullanılır.

ÖRNEK: Tarık bilyelerini dörder, beşer ve altışar saydığında her defasında 1 bilyesi artıyor. Buna göre, Tarık’ın en az kaç tane bilyesi vardır?

EKOK(4,5,6) = 2.2.3.5 = 60

60 + 1 = 61 bilye

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ Aralarında Asal Sayılar

√ Aralarında Asal Sayılar ile İlgili Özellikler

Bu konuda aralarında asal sayılar nedir, aralarında asal sayı ne demektir öğreneceksiniz. Bu konuya başlamadan önce EBOB-EKOK konusuna bakmanızı tavsiye ederiz.

ARALARINDA ASAL SAYILAR

İki ya da daha fazla doğal sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.

ÖRNEK: 16 ve 35 sayılarının ortak bölenlerini adım adım bulalım.

# Öncelikle 16 ve 35 sayılarının bölenlerini yazalım:

16’nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16

35’in bölenleri: 1, 5, 7, 35

# Şimdi bu bölenlerden ortak olanlarını işaretleyelim.

16’nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16

35’in bölenleri: 1, 5, 7, 35

# Görüldüğü gibi bu iki sayının ortak bölenleri sadece 1’dir. Bu yüzden bu iki sayıya aralarında asal sayılar denir.

ÖRNEK: 18 ve 21 sayılarının aralarında asal olup olmadığını bulalım.

# 18 ve 21 sayılarının bölenlerini yazalım ve ortak olanlarını işaretleyelim.

18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18

21’in bölenleri: 1, 3, 7, 21

# Görüldüğü gibi bu iki sayının ortak bölenleri 1 ve 3’tür. 1’den başka ortak bölenleri bulunduğu için bu iki sayı aralarında asal sayı değildir.

ARALARINDA ASAL SAYILAR İLE İLGİLİ NOTLAR

Aralarında asal sayıların ebob’ları 1’dir.

ÖRNEK: 16 ve 35 sayıları aralarında asal sayılardır.

Bu yüzden EBOB’ları 1 çıkacaktır. EBOB(16,35) = 1

Aralarında asal iki sayının ekok’ları sayıların çarpımına eşittir.

ÖRNEK: 5 ve 6 sayıları aralarında asal sayılardır.

Bu yüzden EKOK’ları bu iki sayının çarpımına eşit çıkacaktır. EKOK(5,6) = 30

Ardışık iki sayılar ve ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır.

ÖRNEK: 23 ve 24 sayıları ardışık sayılardır. 35 ve 37 sayıları ardışık tek sayılardır.

Bu yüzden 23-24’ün ve 35-37’nin aralarında asal olduklarını işlem yapmadan bilebiliriz.

Çift sayılar aralarında asal olamaz.

ÖRNEK: 28 ve 46 sayıları aralarında asal değillerdir.

Çünkü çift sayıların hepsi 2’ye tam bölündüğü için ortak bölenleri sadece 1 değildir. Bu yüzden aralarında asal değillerdir.

Farklı asal sayılar her zaman aralarında asaldır.

ÖRNEK: 5 ve 23 ikisi de asal sayı olduğu için aralarında asaldır.

5’in pozitif bölenleri: 1 ve 5

23’ün pozitif bölenleri: 1 ve 23

Asal sayıların pozitif bölenleri sadece 1 ve kendileri olduğu için farklı asal sayıların ortak bölenleri sadece 1 olur. Bu yüzden aralarında asal olurlar.

Aralarında asal sayıların asal sayı olması gerekmez.

ÖRNEK: 9 ve 64 aralarında asaldır ancak ikisi de asal sayı değildir.

Aralarında asal sayı kavramı ile asal sayı kavramını karıştırmamak gerekir.

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ Üslü İfadeler

√ Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti

√ Negatif Üslü Sayılar

√ Tam Sayıların Negatif Kuvveti

Tam sayıların doğal sayı kuvvetlerini 7. sınıfta öğrenmiştik. Bu konuda ise tam sayıların negatif kuvvetlerini göreceğiz. Bu konuya başlamadan önce Tam Sayıların Kuvvetleri Konusuna göz atmanızı tavsiye ediyoruz.

NEGATİF ÜS ALMA

Aşağıdaki görsele bakarak negatif üslü sayılara giriş yapalım.

Aşağıda 8 sayısı art arda 2’ye bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulmuştur. Oluşturulan örüntünün her terimini üslü sayı ile ifade edersek dikkat edilirse her adımda üs bir azalmıştır.

Yukarıdaki örüntüden de keşfettiğimiz şekilde:

Payı 1 olan rasyonel sayılar, bir tam sayının negatif tam sayılı kuvveti şeklinde gösterilebilir.

Sıfırdan farklı her tam sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.

ÖRNEK : 20 = 1

NEGATİF TAM SAYILARIN NEGATİF ÜSSÜNÜ BULMA

Aşağıda –8 (yani (–2)3) sayısı art arda –2’ye bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulmuştur. Oluşturulan örüntünün her terimini üslü sayı ile ifade edersek dikkat edilirse her adımda üs bir azalmıştır.

Yukarıdaki örüntüden de keşfettiğimiz şekilde:

Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ise negatiftir.

(–2)3 = –8

(–2)2 = 4 gibi…

Genel olarak üslü bir tam sayının işareti:

# Tam sayı pozitif ise bütün kuvvetleri pozitif olur.

# Tam sayı negatif ise çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif olur.

# Bir üslü ifade paydadan paya veya paydan paydaya alındığında kuvvetin işareti değişir.

Yukarıdaki örnekleri incelersek (–5)–2 paydaya alınınca (–5)2 olur.

Benzer şekilde paydadaki 63 paya alınınca 6–3 olur

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ Ondalık Sayılarda Üs Alma

√ Rasyonel Sayıların Üslü Gösterimi

RASYONEL SAYILARIN TEKRARLI ÇARPIMINI ÜSLÜ OLARAK YAZMA

Rasyonel sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımı üslü şekilde yazılabilir. Sayı kaç kez çarpım olarak yazıldıysa üsse bu sayı yazılır.

ÖRNEK : 13.13.13.1313.13.13.13 çarpımını üslü olarak gösterelim.

Aynı sayı 4 kere çarpım şeklinde yazıldığı için üslü olarak gösterimi (13)4(13)4‘tür.

ÖRNEK : (−12).(−12).(−12)(−12).(−12).(−12) ifadesini üslü olarak gösterelim.

Aynı sayı 3 kere çarpım şeklinde yazıldığı için bu sayının üssüne 3 yazarız.

(−12)3(−12)3 olarak yazılır.

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ Ondalık Sayıları Çözümleme

√ 10’un Kuvvetlerini Kullanarak Çözümleme

√ Üslü Sayılarla Çözümleme

Önceki yıllardan bildiğimiz gibi çözümleme, bir sayının rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasına diyoruz.

ÖRNEK : 325,6 sayısının çözümlenmiş hali 3.100 + 2.10 + 5.1 + 6.0,1

Bu konumuzda ondalık gösterimleri verilen sayıları çözümlemeyi ve bu çözümlemeyi 10’un kuvvetlerini kullanarak yapmayı göreceğiz.

SAYILARIN ONDALIK GÖSTERİMLERİNİ 10’UN KUVVETLERİNİ KULLANARAK ÇÖZÜMLEME

Çözümleme yaparılırken her rakam, bulunduğu basamağın basamak değeri ile çarpılır ve bu çarpımlar toplanır.

Bu yüzden basamak isimlerini ve bu basamakların 10’un kaçıncı kuvveti olduğunu bilmemiz gerekir. Öncelikle basamak isimlerini hatırlayalım.

Çözümleme yaparken her bir rakamı bulunduğu basamağın değeriyle çarpacağız ve bunları toplayacağız. Basamak değerlerini farklı şekillerde gösterebiliriz. Bu konumuzda 10’un kuvvetlerini kullanacağız.

Yüzler basamağı 102

Onlar basamağı 101

Birler basamağı 100

Onda birler basamağı 10−1

Yüzde birler basamağı 10−2

Binde birler basamağı 10−3

ÖRNEK : 268,174 sayısını 10’un kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim.

ÇÖZÜM :  

ÖRNEK : 35,02 sayısının çözümlemesi 35,02 = 3.10a + 5.10b + 2.10c ise (c + a)b kaçtır?

ÇÖZÜM :

3 rakamı onlar basamağında olduğu için ve 10 sayısı 10’un 1. kuvveti olduğundan a = 1

5 rakamı birler basamağında olduğu için ve 1 sayısı 10’un 0. kuvveti olduğundan b = 0

2 rakamı yüzde birler basamağında olduğu için ve 1/100 sayısı 10’un −2. kuvveti olduğu için c = −2

Sonuç olarak (c + a)b = (−2 + 1)0 = (−1)0 = 1

RASYONEL SAYILARIN KUVVETLERİNİ BULMA

Rasyonel sayıların kuvvetleri hesaplanırken taban üsteki sayı kadar çarpım şeklinde yazılır ve daha sonra çarpma işlemi yapılır.

ÖRNEK : (14)2(14)2 sayısının değerini bulalım.

Üste 2 olduğu için; 14.14=11614.14=116 sonucu bulunur.

ÖRNEK : (−32)−3(−32)−3 ifadesinin değerini bulalım.

Üsteki −3’ün +3 olması için pay ve payda yer değiştirir. Daha sonra kesrimizi 3 kere çarparız.

(−32)−3=(−23)3=(−23).(−23).(−23)=1

Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ Üslü Bir Sayının Üssü

√ Üslü Sayılarla Çarpma İşlemi Nasıl Yapılır?

√ Üslü Sayılarla Bölme İşlemi Nasıl Yapılır?

ÜSLÜ SAYININ ÜSSÜ

Üslü bir sayının üssü alınırken üsler çarpılır.

(ax)y=ax.y(ax)y=ax.y

ÖRNEK : Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulalım.

► (23)2=23.2=26=64(23)2=23.2=26=64

► (0,7−1)2=0,7−1.2=0,7−2=(710)−2=(107)2=10049(0,7−1)2=0,7−1.2=0,7−2=(710)−2=(107)2=10049

ÜSLÜ İFADELERLE ÇARPMA İŞLEMİ

Üslü ifadelerle çarpma işlemi ile ilgili 2 kural öğreneceğiz.

Tabanları aynı olan üslü sayılarla çarpma işlemi yapılırken üsler toplamı, ortak tabana üs olarak yazılır.

ax.ay=ax+yax.ay=ax+y

ÖRNEK : Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.

► 22.25=22+5=2722.25=22+5=27

► 34.3−7=34+(−7)=3−334.3−7=34+(−7)=3−3

► (−2)5.(−2)4=(−2)9(−2)5.(−2)4=(−2)9

Üsleri aynı olan üslü sayılarla çarpma işlemi yapılırken tabanlar çarpılır, ortak üsse taban olarak yazılır.

ax.bx=(a.b)xax.bx=(a.b)x

ÖRNEK : Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.

► 22.32=(2.3)2=6222.32=(2.3)2=62

► 6−2.3−2=(6.3)−2=18−26−2.3−2=(6.3)−2=18−2

► (−2)5.25=(−2.2)5=(−4)5(−2)5.25=(−2.2)5=(−4)5

Hem tabanlar hem üsler aynı ise yukarıdaki işlemlerden herhangi biri yapılabilir.

ÜSLÜ İFADELERLE BÖLME İŞLEMİ

Üslü ifadelerle bölme işlemi ile ilgili 2 kural öğreneceğiz.

Tabanları aynı olan üslü sayılarla bölme işlemi yapılırken bölünen sayının üssünden bölen sayının üssü çıkartılır, ortak tabana üs olarak yazılır.

axay=ax−yaxay=ax−y

ÖRNEK : Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.

► 25:22=25−2=2325:22=25−2=23

► 34:3−7=34−(−7)=34+7=31134:3−7=34−(−7)=34+7=311

► (−2)−5(−2)3=(−2)

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ Üslü Sayılarla Toplama İşlemi

√ Üslü Sayılarla Çıkarma İşlemi

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi ayrı bir kazanım olarak müfredatta yer bulmasa da öğrencilerin bu sorularla karşılaştığında ne yapması gerektiğini bilmeleri için biraz bahsedelim.

Tabanları veya üsleri farklı üslü sayılarla toplama ve çıkarma işlemine girmeyeceğiz çünkü bu konuyla ilgili 8. sınıf müfredatında bir kazanım bulunmamaktadır.

Bu konuya başlamadan önce Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi konusunu tekrar etmeniz faydalı olacaktır.

ÜSLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ

# Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken için önce üslü sayıların değeri bulunur.

ÖRNEK: 23 + 22 işleminin sonucunu bulalım.

23=8 ve 22=4 olduğundan

8+4=12 cevabını buluruz.

ÖRNEK: 5−2 + (−5)2 işleminin sonucunu bulalım.

Önce üslü sayıların değerlerini bulduk, daha sonra ise paydaları eşitleyerek toplama işlemini yaptık.

125+25=125+251=125+62525=62625125+25=125+251=125+62525=62625 olarak bulunur.

ÖRNEK: 32 − 22 işleminin sonucunu bulalım.

32=9 ve 22=4 olduğundan

9−4=5 cevabını buluruz.

# Hem tabanları hem de üsleri aynı olan üslü sayılarda bu sayılarla çarpım durumunda bulunan katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yapılabilir.

ÖRNEK: Bir kenarının uzunluğu 27 cm olan karenin çevresini bulalım.

Çevre = 27 + 27 + 27 + 27

4 tane 27 sayısını topladığı için bunu kısaca 4.27 şeklinde yazabiliriz.

4.27 = 22.27 = 29

ÖRNEK: 5.315 − 2.315 işleminin sonucunu bulalım.

Hem tabanlar hem üsler aynı olduğu için katsayılar arasında işlem yapılır.

(5−2).315 = 3.315 = 316

# Tabanları aynı, üsleri farklı olan üslü ifadelerde toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılırken üsler eşitlenir ve daha sonra katsayılar arasında işlem yapılır.

ÖRNEK: 314 + 313 − 312 işleminin sonucunu bulalım.

Üsler en düşük olan üsse göre eşitlenebilir.

32 . 312 = 314 olduğu için biz 314 yerine bu ifadeyi yazabiliriz. Benzer durum 313 için de geçerli. Buna göre:

314 + 313 − 312 ifadesini şu şekilde düzenler ve işlem yaparız:

= 32.312 + 31.312 − 312

= 9.312 + 3.312 − 1.312

= (9+3−1).312 = 11.312 olarak sonucu buluruz.

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:

√ 10’un kuvvetleri

√ Çok Büyük Sayıların Bilimsel Gösterimi

√ Çok Küçük Sayıların Bilimsel Gösterimi

10’UN KUVVETLERİ

a bir tam sayı olmak üzere a . 10n sayısında; n pozitif tam sayı ise a’nın sağına n tane sıfır koyulur.

ÖRNEK : 15 . 104 = 150000 (15’in yanına 4 tane sıfır yazdık)

Bu işlemin sonucu 6 basamaklıdır.

n negatif tam sayı ise virgülden sonra n tane basamak olur ve a sayısı sağa yaslı olarak yazılır. Boş kalan basamaklara koyulur.

ÖRNEK : 5 . 10−4 = 0,0005 (Virgülden sonra 4 basamak yazdık)

“İşleminin sonucu kaç basamaklıdır?” veya “Sayısının sonunda kaç tane sıfır (0) vardır?” gibi soruları çözmek için genelde 10’un kuvvetlerine başvururuz. 10’un kuvvetine ulaşmak için ise 5 ve 2’nin aynı kuvvetini bulur ve çarparız.

ÖRNEK : 514 . 214 işleminin sonunda kaç tane 0 vardır ve işlemin sonucu kaç basamaklıdır?

Üsler aynı olduğu için tabanlar çarpılır.

514 . 214 = 1014

Sonuç olarak bu işlemin sonucunda 1’in yanında 14 tane sıfır vardır ve sonuç 15 basamaklıdır.

ÖRNEK : 526 . 412 işleminin sonunda kaç tane 0 vardır bulalım.

Amacımız tabanı 10 yapmak. Bunun için 5 ve 2’ye ihtiyacımız var. O yüzden 4’ü 2’nin karesi olarak yazar sonra üsleri eşitleriz.

526 . 412 = 526 . 224 = 52 . 524 . 224 = 25 . 1024

İşlemin sonucunda 25’in yanında 24 tane 0 vardır ve sonuç 26 basamaklı bir sayıdır.

BİLİMSEL GÖSTERİM NEDİR?

Bilimsel gösterim, çok büyük ve çok küçük sayıları göstermek için kullanılan bir standarttır. Bilim adamlarının ilgilendikleri pek çok nicelik ya çok büyük ya da çok küçük değerlerdir. Böyle sayıları okumak, onlarla işlem yapmak çok zordur. Bilimsel gösterim sayesinde 10 sayısının kuvvetlerini kullanarak böyle zorluklardan kurtuluruz. Bilimsel gösterim, hayatımızdaki çok büyük ve çok küçük sayılarla işlem yapmamızı kolaylaştırır.

Bir sayının bilimsel gösterimle gösterilebilmesi için şu şekilde yazılması gerekir. |a| (a sayısının mutlak değeri), 1 ile 10 arasında (1 dahil) bir sayı, n bir tam sayı olmak üzere bir sayının |a|.10n biçiminde gösterimine o sayının bilimsel gösterimi denir. Bilimsel gösterim 1 ≤ | a | <10 ve n bir tam sayı olmak üzere |a|.10n şeklindedir.

Bilimsel Gösterim

1,2 . 1012

8 . 1024

1 . 10-6

Bilimsel Gösterim Değil

12 . 1012

0,2 . 1017

10 . 10-2

ÇOK BÜYÜK SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

# Çok büyük sayılarda 10’un kuvveti pozitif bir tam sayıdır. Çok büyük sayıların bilimsel gösterimini örneklerle açıklayalım.

# Bir sayıyı bilimsel gösterimle göstermek için virgül sola kaydırılırsa 10’un üzeri arttırılır, sağa kaydırılırsa 10’un üzeri azaltılır.

ÖRNEK: 21 000 000 000 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Tam sayıların virgülü en sondadır. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 2’nin sağına gelmelidir.

ÖRNEK: 314 000 000 000 000 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Tam sayıların virgülü en sondadır. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 3’ün sağına gelmelidir.



ÇOK KÜÇÜK SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

# Çok küçük sayılarda 10’un kuvveti negatif bir tam sayıdır. Çok küçük sayıların bilimsel gösterimini örneklerle açıklayalım.

# Bir sayıyı bilimsel gösterimle göstermek için virgül sola kaydırılırsa 10’un üzeri arttırılır, sağa kaydırılırsa 10’un üzeri azaltılır.

ÖRNEK: 0,0000000007 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 7’nin sağına gelmelidir.



ÖRNEK: 0,0000000000001234 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 1’nin sağına gelmelidir.



ÖRNEK: ( 2,3 . 107 ).( 5 . 10─3 ) işleminin sonucunu bilimsel gösterimle gösterelim.



NEGATİF SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

# Bilimsel gösterim negatif olur mu? Negatif sayıları da bilimsel gösterimle gösterebiliriz.

ÖRNEK: −53000 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Pozitif örneklerde olduğu gibi negatif sayılarda da virgülü uygun yere kaydırarak sayıyı bilimsel gösterimle gösterebiliriz.

Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 5 ile 3’ün arasına gelmelidir. Böylelikle sayımız −5,3 . 10 üssü 4 olur. Burada −5,3 sayısının mutlak değeri 1 ile 10 arasında olduğu için bilimsel gösterime uygundur.

−53000 sayısının bilimsel gösterimi: −5,3 . 10 üssü 4

Kolay gelsin :)

Cevap:

23

Adım adım açıklama:

< f(x²-2x-3) = 4x² - 8x +3 > ifadesindeki 4x² - 8x +3 ifadesini parantezin içine benzetelim:

f(x²-2x-3) = 4x² - 8x +3 = ( 4x² - 8x - 12 ) + 15

Parantez içine aldığımız 4x² - 8x - 12 ifadesi parantez içinin 4 katı oldu.

x²-2x-3 yerine a dersek;

f (a) = 4a + 15

Yeni fonksiyonda a yerine 2 yazalım:

f (2) = 4.2 + 15 =23

Cevap:

23

Adım adım açıklama:

f(2) değerini aradığımız için,

[tex]x^2-2x-3[/tex] ifadesi yerine 2 yazalım. Yani [tex]x^2-2x-3=2[/tex] olsun. Bu durumda,

[tex]4x^2-8x+3[/tex] ifadesinin değerini bulmalıyız.

[tex]x^2-2x-3=2[/tex] ise bu ifadeyi 4 ile çarpıp genişletelim.

[tex]4(x^2-2x-3)=4.2\\4x^2-8x-12=8\\4x^2-8x=20[/tex]  gelir. Biz [tex]4x^2-8x+3[/tex] ifadesinin değerini arıyorduk.

[tex]4x^2-8x+3=(4x^2-8x)+3=20+3=23[/tex]  yapar.